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辺の比と面積の比

今週は、辺の比と三角形の面積の比について考えてみましょう。基本は、右の〔図１〕で、「相似な三角形では、面積の比は相似比の２乗に等しいこと」〔図２〕で、「高さの等しい三角形では、底辺の比は面積の比と等しいこと」の２点です。
この２つの基本を組み合わせて、必殺技を作ります。〔図３〕のように、上底と下底の比がＡ：Ｂである台形を、２本の対角線で４つの三角形に分けたとき、三角形の面積の比は、Ａ²：ＡＢ：Ｂ²：ＡＢとなります。
	例えば、左の図のように、上底が６cm、下底が１０cmの台形では、上底と下底の比が３：５ですから、三角形の面積比は時計周りに9：15：25：15となります。これを使って問題に取り組んでみましょう。

	〔問題１〕左のような台形があります。このとき、三角形ＣＤＥの面積を求めなさい。
	〔問題２〕左のような平行四辺形があります。三角形ＢＣＦの面積が１２５cm²であるとき、三角形ＤＥＦおよび四角形ＡＢＦＥの面積をそれぞれ求めなさい。
	〔問題３〕左のような平行四辺形があります。辺ＡＤ上にＡＥ：ＥＤ=３：２となる点Ｅを取ります。三角形ＡＢＦと平行四辺形ＡＢＣＤの面積の比を求めなさい。

〔解説１〕三角形ＡＢＤや三角形ＡＣＤの面積は８×９÷２＝３６cm²で、三角形ＡＥＤと三角形ＣＤＥの面積の比は４：５ですから比例配分によって三角形ＣＤＥは２０cm²となります。
〔解説２〕まずＢ、Ｅを結び、台形ＢＣＤＥを作ります。上底と下底は３：５ですから、面積比は右図のようになります。また、三角形ＢＣＤは平行四辺形の半分で、比では４０に相当しますから、三角形ＡＢＥは、比で１６に当たります。そこで比例式を利用すると △ＤＥＦ：１２５＝９：２５より、三角形ＤＥＦは４５cm²です。また、四角形ＡＢＦＥ：１２５＝３１：２５より、１５５cm²が求められます。
〔解説３〕Ｃ、Ｅを結んで、台形を作ると、面積比は右のようになります。従って、三角形ＡＢＦと平行四辺形ＡＢＣＤの面積の比は１５：８０＝３：１６となります。